Анализ погрешностей и методы повышения точности измерительных приборов и систем

X-Y будет иметь минимальную длину при заданном X в том случае, когда вектор Х - б у д е т ор­ тогонален (в нашем примере перпендикулярен) плоскости М(рис. 7.16). При этом вектор Y „, будет ортогональной проекцией вектора X на подпространство (плос­ кость) М. Рис. 7.16. Векторное условие Более Строго это положение форму лир у е т с я минимума разности двух векторов следующей леммой: Норма | |X-Y „ , | | минимальна для всех Y, принадлелсащих подпростран­ ству М, тогда и только тогда, когда Y „, является ортогональной проекции X на М, т.е. тогда, когда Y „, = Y„„ ( ортогональной проекции вектора X на подпро­ странство М) и X-Y „|^ ортогонален ко всем Y, принадлежащим М | | X- Y „ „ | | < | | X - Y | | для всех \еМ. (7.93) С помощью этой леммы можно найти условие минимума нормы вектора погрешности фильтрации, Итак, имеем: ХД/) =Г ( 0 - Х ( 0 , где ХДг) - вектор погрешности фильтрации; Х( 0 - вектор состояния объекта; Х°(Г) - оценка вектора состояния, получаемая с помощью оптимального фильтра в соответствии с формулой; / X 4 / ) = |Ho (M)Z( t ) t / t , ^0 где Но(?,х) - матрица импульсных переходных функций фильтра. При этом м | | | ХД0 1 | ' } =A ^ | | j s i ( o j = min , т.е. минимизация векторной суммы средних квадратических погрешностей фильтрации есть минимизация нормы вектора ХДО • Рассмотрим суммарный выходной вектор ИС Z(f), равный Z(0 = C(0X(0 + V(0. Этот вектор является линейным преобразованием вектора состояний с по­ мощью матрицы С(/) размера рхп. Следовательно, мнолсество векторов Z{t) образует линейное подпространство Z пространства состояний X. Теперь, применяя лемму об ортогональных проекциях, можно сформули­ ровать условие минимизации нормы вектора погрешности фильтрации. 224