Дискретная математика

50 a)A={Z;+;uB=(2;+;; 5} A=(Z;xJ и В =(2*;x), Здесь + и x обозначают обычные операции сложения и умнол{ения чисел. 8. На множестве всех вещественных положительных чисел рассматривается действие обычного умножения, т.е. имеем алгебру (R*;x). Пусть В= {(-00,00);+). Показать, что А и В изоморфны. 9. Множество М состоит из всех матриц вида чО 1 где X - любое вещественное число. На М введена операция умножения матриц, т.е. имеем алгебру А={М;>с). Пусть В — алгебра всех вещественных чисел с операцие сложения, т.е. В =((-со, °о);+). Доказать, что АшВ изоморфны. 10. Пусть М - множество всех матриц порядка п, и>1, составленных из комплексных чисел и на М введена операция умножения матриц, т.е. имеем алгебру А =(М; х). Положим, что В есть алгебра всех комплексных чисел с операцией умножения. Заданы отображения из А в В; <Pi(A)=detA; (p2(A)=aii,aii - первый элемент первой строки матрицы А-, (рз(А) = \. Выяснить какие из этих отображений являются гомоморфизмами. 11. Пусть Р - множество всех не нулевых полиномов с комплекснозначнь1ми коэффициентами и на Р введено обычное умножение полиномов, т.е. имеем алгебру А ={Р;хХ где каждый зле.мент F кз Р представим в виде; F=a()x"+ajx"'' +... +а„. a-i-a „ ( ао^Ю). Положим, что К={С: х), здесь С- множество всех комплексных чисел. Заданы отображения нъ А в К: 1) ( p ,( F }= ao \ 2) (р2(Р)=ао, где an - комплексное число, сопряженное с Яд; 3) (p3(F)=ao+ai+... + я,,; 4) <p4(F)~ao+a „-, 5) (/>s(P')=\<^n\\ 6) щ(Р)=с", где се(-щсю) и ст^О. Выяснить, какие из этих отображений являются гомоморфизмами. 12. Дано множество (0,1,2,...,и-1} с операцией сложенш по модулю п. Показать, что это группа. 13. Дано множество {0,1,2,...,«-1} с операцией умножения по модулю п. Вьыснить, будет ли это группой. 14. Дано множество М всех квадратных матриц и-го порядка, составленных из комплексных чисел и на М введена операция умножения матриц. Выяснить, являются ли группами подмножества, состоящие из следующих матриц (с операцией умножения этих матриц): 1) вещественные матрицы из М;