Дискретная математика

46 все элементы А, В упорядочены между собой. Так на рис. 2.4 а) элемент (подмножество) А предшествует В, а на рис.2.4 б) А и В неупорядочены. а) Рис. 2.4 2. Пусть V[a,b] множество всех вещественнозначных функций, определенных на отрезке [а,Ь]. Определим операции (p(x)nf(x)=min{f(x),(p(x)}; ф)<и/(х) =mca{f(x), q>(x)}. Эти операции удовлетворяют аксиомам решетки, следовательно, {V[a,b]; п) является решеткой. Здесь нет ни нижней, ни верхней грани, поэтому нет и дополнения элемента. Отношения частичного порядка f(x) < (р(х) О (f(x)r\(p(x)=f(x)) означает, чтоДх) <g(x) для всвххё[а,Ь]. § 11. Булевы алгебры Дистрибутивная ограниченная решетка, в которой для каждого элемента существует дополнение, называется булевой алгеброй. Свойства булевой алгебры: ]) aua=a, агла=а; 2) aub=bua, anh=bna: 3) а^(Ьис)=(a^b)vjc, аГ\(Ьгх;)=(аглЬ)глс; 4) (аг\Ь)^а=^а, (а^оЬ)гла^а; свойства 1) - 4) следуют из определения решетки; 5) a\j(br\c)=(a^b)r\(a^c), аГ\(Ь^с)-(аГ\Ь)^(аглс) - следуют из свойства дистрибутивности решетки; 6) aKjI=l. аг\0=0 - следуют из свойств 0граниче1П10сти решетки; 7) auO=a, агл1=а - по следствию из теоремы ограниченности; 8) а"=а - по теореме о свойствах дополнения; 9) (апЬ)'=а'<иЬ', (аиЬ)'=а'глЬ'- по теореме о свойствах дополнения; 10) а^а'=}, аг\а'=0 - так как дополнение существует; Пример булевой алгебры; М ^0, О-"', U, п, здесь \ =t', 0=0, А ^В с^АсВ.