Дискретная математика

10 например, множество всех множеств. Рассмотрим множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элементов: Если Y существует, то мы должны иметь возможность ответить на следующий вопрос: является ли Y элементом самого себя? Если Г есть элемент F, то по определению Y, множество Y не есть элемент Y. Если же Y не есть элемент Y, то Y должно быть элементом Y. Получаем неустранимое логическое противоречие, которое известно как парадокс Рассела. Одним из способов избежать парадоксов типа парадокса Рассела является задание множества с помощью аксиом (аналогично как строится геометрия). Рассмотрим аксиоматику Цермело-Френкеля теории мнооюеств. I. Аксиома объемности. Если множества А и В составлены из одних и тех же элементов, то они совпадают; А=В. Множество В называется подмножеством А, если каждый элемент множества Б принадлежит множеству А. В этом случае записываем: Ва А или Вс А. Если Вс А и В^А, то В называют собственным подмножеством множества^. Отношения с : и с" называют отношениями включения. Из Ас В и ВсА следует, что А -В. II. Аксиома существования пустого множества. Существует такое множество0 , что ни один элемент х ему не принадлежит. Легко убедиться, что пустое множество является подмножеством любого множества, т.е. для любого множества Л:0 с А . II*. Аксиома пары. Для произвольных а и Ъ существует множество, единственными элементами которого являются анЬ . Аксиомы, помеченные звездочкой, здесь и в дальнейшем, зависимы от остальных, поэтому не имеют собственного номера. III. Аксиома суммы (объединения). Для каждого семейства множеств R существует множество S, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат некоторому множеству^ из R. Объединение двух множеств А vi В обозначается АиВ, объединение множеств Л/, Ai, ..., А„ обозначается; АIuAjUA^u... uA „ или U Д-. i-i IV. Аксиома степени. Для каждого множества А существует семейство множеств 2^, элементами которого являются все подмножества А и только они. рассмотрим примеры. Пусть А=0, тогда 2^={ . ^ ; ^ = {0, 1}, тогда2''={0, [0}, { ! } , {О, 1}}; А = {а,Ь.с}, тогда2 ' ' = { а ] . {Ь}, {с}, {а,Ь}, [а,с}, {Ь,с}, [а,Ь,с}}.