Математическая логика и теория алгоритмов

ние "все песчинки образуют кучи пуска" не означает, что каждая пес­ чинка образует кучи песка, следовательно, при символизации нельзя употреблять квантор Ух, как это сделано в предыдущем примере. В языке слово "все" имеет два значения: "любой, каждый" и "все вместе". Квантор Vx применяется для первого значения. Из изложенного следует, что "Уд:Р(д:)" служит обозначением для следующих высказываний: для всех X выполняется (имеет место) Р{хУ, для кансдого х выполняется (имеет место) Р{хУ, для любого X выполняется (имеет место) Р (х)\ для произвольного д: выполняется (имеет место) P(x); каково бы ни былод:, выполняется (имеет место) Р{х). В языке слово "некоторый", так же как и "все", часто опускается. Например, предложение "люди побываяи на .Луне" означает, что некото­ рые люди побывали на Луне. Символическая запись ЗхР{х), как мы знаем, означает, что для некоторых л: имеет место Р{х), но не исключено, что и для всех д: имее место Р(х). В естественном же языке слово "некоторый" иногда употребляют в смысле "не все". Когда говорят "некоторые сту­ денты отличники", подразумевают, что некоторые, но не все студенты отличники. Следовательно, имеется в,виду: "неверно, что все студен­ ты отличники, но некоторые - отличники". Тогда, если С{х) означает "х - студент", 0(х) означает "х - отличник", получим: (1 У л -(С(х) ^0{Х ))) &3 Х {С[ Х )8 С О{ Х)). Итак, слово "некоторый" имеет два значения: первое - "некоторый, но может быть и все", второе - "некоторый, но не все". Символ Зх обозначает первое. Следовательно, запись 3xP(xJ служит обозначением для следующих высказываний: для некоторых д: (имеет место) Р(х); существует х, для которого Р(х); найдется х, для которого Р(х); хотя бы для одного X (верно) P(x); 50