Математическая логика и теория алгоритмов

дений, например, когда нужно исследовать рассуждения, истинность которых зависит от времени, или вводятся понятия «должно быть» и «может быть» и т.п. (подробнее в гл. 5). Пусть Ж - некоторое множество предметов, а\,аъ..- какие-то определенные предметы (элементы) из этого множества. Тогда через A(ai) будем обозначать некоторое высказывание о предмете ai, а через J (a2) - то же высказывание о предмете Яг- Например, если М е с т ь множество всех натуральных чисел и ai=3, «2=8, то A(ai) может обозначать высказывание "3 - простое число", тогда ^(яг) будет обозначать "8 - простое число".. Как и в логике высказываний, будем рассматривать эти выска­ зывания только с той точки зрения, что они представляют либо истину (If), либо ложь (Л). При этом значения высказывания A(ai) и А(а2) могут быть разными либо нет в зависимости от выбранных предметов ai и aj. Следовательно, в отличие от логики высказываний буд ем считать, что значения И к Л ставятся в соответствие определен­ н ы м предметам или группам предметов. Если же не будем фиксировать элемент, например, рассмотрим Aipc), где х - любой элемент из Ж, то получим некоторое предложение, которое становится высказыванием, когда л: замещено определенным элементом из М. Например, если М является множеством всех нату­ ральных чисел, то А(х) может обозначать "х - простое число". Это предложение становится высказыванием, если х заменить числом, на­ пример, "3 - простое число", "4 - простое число". При этом получаем высказывания, которые истинны, либо ложны. Следовательно, А(х) порождает функцию, область определения которой есть множество % а область значений - множество {И, Л} . Отметим (еще раз), что А(х) становится высказыванием при замене х фиксированным (определен­ ным) элементом из М. Предложения, в которых имеются две и более переменных, бу­ д е м обозначать, например, А{х,у), B{x,y,z) и т. п. При этом х, у, z про­ бегают все множество М, а А(х,у), B{x,y,z) при фиксированных х, у, z 47