Математическая логика и теория алгоритмов

Al ) p-q<q ' p- , A2) p-q<p-, A3) ' p-<p- p\ A4) О • q)r< p - ( q - r); A5) p ^ ~(-p); A6) (p<q) •{q-< r ) Ч( р ч r); Al) p-(p-<q):<q. Правила вывода следующие. PI. Правило замены строго эквивалентным: любые два эквива­ лентных друг другу выражения взаимозаменяемы. Р2. Вместо любых переменных р, q, г,... можно подставить про­ извольную формулу. РЗ. Введение конъюнкции: т А ,В выводится^4-5. Р4. Modus pones со строгой импликацией: из ^ и А-< В выводится В. Если добавить к аксиомам системы S1 аксиому А8) 0(pitq)-^0p, то получается система S2 Льюиса, которая считается системой стро­ гой импликации. Льюисом были предложены и другие системы мо­ дальной логики, в частности, системы S3- S5 и др, Отметим, что в классической логике, например, из лжи следует, что угодно. Это иногда противоречит нашему содержательному, прак­ тическому пониманию логического следования. Для устранения этого парадокса материальной импликации Льюис и создал свои системы со строгой импликацией. Но появились парадоксы и для строгой импликации. Для исключения парадоксов строгой импликации Ф. В. Аккерман построил свою систему модальной логики. Кроме систем Льюиса и Аккермана, существуют системы Лука- севича и некоторые другие. На втором этапе развития современной модальной логики были построены так называемые семантики возможных миров. Основным понятием в них является понятие возможного мира. Под возможным миром понимается мыслимое положение дел или возможный ход раз­ вития вещей. 211