Математическая логика и теория алгоритмов

Обычно говорят, что высказывание логически необходимо, если его истинность может быть установлена независимо от опыта или чисто логическим путем. В модальной логике из необходимости высказывания вытекает его истинность, но не наоборот. Высказыва­ ние и его отрицание не могут быть вместе необходимыми. Необходимость является, таким образом, более сильным видом истины, чем фактическая истинность. С самого зарождения логики было подмечено различие между истинными высказываниями, являющимися таковыми в силу необходимости, и высказываниями истинными случайными, возможными. Развитие модальной логики можно разбить на три периода. К первому периоду относится зарождение модальной логики в античности и некоторое развитие в средневековье. Модальности бы­ ли введены Аристотелем, который считал, что термин «возможность» имеет различный смысл. Аристотелем введены и исследованы модальные силлогизмы и некоторые другие аспекты модальностей. Проводя исследование аристотелевской логики, Лукасевич заключает, что в работах Аристотеля можно найти все элементы, необходимые для построения полной системы модальной логики, однако Аристо­ тель исходил из двузначной логики, в то время как модальная логика не может быть двузначной. К идее многозначной логики Аристотель подошел вплотную, рассуждая о «будущем морском сражении». Сле­ дуя Аристотелю, Лукасевич в 1920 году построил трехзначную логи­ ку. Тем самым выявляется идейная связь между модальными и много­ значными логиками. Второй период связан с появлением работ К. Льюиса (примерно 80 лет назад). В этот период строятся формальные системы (исчисле­ ния) модальной логики, выявляются различные черты модальных по­ нятий. Идея Льюиса состояла в проведении различия между связками, выражающими логическую необходимость, и связками, не выражаю­ щими такого рода необходимости. Для третьего периода, начатого работами С. Крипке (конец 1950 годов), существенно выявление внутреннего единства различных систем, казавшихся ранее никак не связанными между собой. 209