Математическая логика и теория алгоритмов

сводят доказательство непротиворечивости арифметики к доказатель­ ству непротиворечивости более богатых теорий. В то же время эти доказательства демонстрируют, какие новые правила вывода следует допустить (принять), если нужно установить непротиворечивость арифметики, § 16. Значение аксиоматического метода Говоря об ограниченности аксиоматических подходов, нельзя умолчать о достоинствах и большом значении аксиоматического под­ хода. Аксиоматизация теории позволяет; 1) систематизировать науч­ ный материал; 2)обеспечивать определенную организацию научного знания; 3) исследовать структуру различных теорий и их взаимоотно­ шение; 4) обеспечивать необходимую строгость рассуждений. Формализация теории, опирающаяся на аксиоматический метод, имеет существенное значение для объяснения и уточнения понятий теории и выявления используемых в ней методов доказательств. С первого взгляда может показаться, что научная терминология, во многих случаях значительно отличающаяся от обычного словоупот­ ребления, является менее ясной и более искусственной, чем повсе­ дневная речь. Однако именно благодаря известной искусственности достигается большая точность и определенность понятий, их ясность. В ряде случаев нельзя правильно поставить вопрос, ни тем более отве­ тить на него, пока не уточним соответствующее понятие. Как и уточнение понятий, уточнение логических средств выво­ да, достигаемое посредством формализации, имеет (как видим) ре­ шающее значение для того, чтобы сделать доказательство необходимо строгим и свободным от ссылок на очевидность и интуицию. С проблемой формализации неразрывно связано создание раз­ личных научных или формализованных языков. Основная цель, кото­ 178