Математическая логика и теория алгоритмов

в дальнейшем рассмотрим конкретную теорию первого порядка (формальную арифметику), для которой будут сформулированы (перечислены) собственные аксиомы. 4. Правилами вывода во всякой теории первого порядка являются: 1) modus ponens: В является непосредственным следствием А иА^В ; 2) правилообобщения(Gen): из А следует Vx, А, точнее У х ,А является непосредственным следствиемт А . Теория первого порядка, не содержавшая собственных аксиом, называется исчислением предикатов первогопорядка и обозначается ч&р&зК,. Единица есть корень всякого числа, ионанаходится вне чисел. Корень числа она,потому чточерезнееопреде­ ляют всякое число. Внечисел она,потому чтоопределя­ етсясамапосебе,т.е.безкакого-либо другого числа. Остальные жечисла немогут быть найдены безединицы. Аль-Хорезми § 14. Формальная арифметика (теория S ) Первое полуаксиоматическое построение арифметики было предложено Дедекиндом (1901), далее усовершенствовано Пеано и известно под названием "система аксиом Пеано". Эта система форму­ лируется следующим образом; РГ. О - есть натуральное число; Р2: для любого натурального числа х существует другое нату­ ральное число, обозначаемое х ' и называемое непосредственно сле­ дующим за х; РЗ: для любого натурального числах; Р4; если х ' - у \ т о х~у, Р5: если U есть свойство, которым, быть может, обладают одни и не обладают другие натуральные числа, и если: 170