Математическая логика и теория алгоритмов

4) 11 S=i>(1 5=>11 в) - является аксиомой, полученной по схеме а 1, когда вместо а к в взяты формулы 11S и1 S соответственно, 5) 11 - по следствию 4.1 из 4) и 3). Утверждение а) доказано; 6) f-S=^11S: 1) (1115=>1 JS)=>((111 S=>S)=:>11 в - является аксиомой, получен­ ной по a3, когда вместо аи в взяты формулы S и 11S соответственно, 2)111s=:>1s - теорема согласно а), 3)(111 S =^5)=^11 B -поMP из 1) и2), 4) S=:>(111 в=>в) ~ аксиома, полученная по схеме. а\, когда вместо а и в взяты формулы S и 111S соответственно, 5 ) S^11S - согласно следствию 4.1 из 4) и 3). Утверждение б) доказано; в) [-1^ =>( у 4=>5); 1 ) 1 ^ - гипотеза, 2) а- гипотеза, 3)а =>(1В =>а) - схема аксиом а1, i)^a=^(\b=>\a) -схемааксиом а\, 5) 1 в:=>а — по mp из 2) и 3), 6 ) 1 S ^ 1 ^ - по mp из 1) и 2), 7) (1 b=>^ ^)^( (1 в=>а)^в) - схема аксиом a3, 8) (1 в=>а)=>в - по mp из 6) и 7), 9) В - по mp из 5) и 8), Итак, в силу 1) - 9)1 ^ \- в. Тогда по теореме дедукции 1 а \-а=>в и, снова по той же теореме, получим, что |-1 а=>{а=>в). Доказательство пп. г) - ж) оставляем читателю в качестве нетривиальных упражнений. § 9.Два определения непротиворечивости Напомним, что дедуктивная теория называется противоречивой, если ее множество теорем т совпадает со всем множеством ее форму 154