Математическая логика и теория алгоритмов

рассматривать дедуктивные методы. Введем понятие дедуктивной теории. Д е д у к т и в н а я т е о р и я считается заданной, если задан язык этой теории и из множества правильно построенных выражений (предло­ жений, называемых формулами) языка выделено дедуктивным обра­ зом множество теорем. Подробнее: дедуктивная теория считается заданной,если: 1) задан алфавит и правила образования выралсений (слов) в этом алфавите; 2) заданы правила образования формул языка (правильно построенных выражений); 3) из множества всех формул языка выделено некоторым дедук­ тивным способом (который будет описан) подмножество Г, элементы которого будем называть теоремами. В зависимости от того, как зада­ но это подмножество т, будем различать получающиеся при этом дедуктивные теории. Подмножество Тможет задаваться одним из следующих способов. 1. Задаются аксиомы и конечное число правил выводов; а) из множества формул (правильно построенных выралсений) выделяется подмножество а, элементы которого называются аксио­ мами (аксиом может быть как конечное число, так и бесконечное); б) задается конечное число правил выводов, используя которые, и только их, из аксиом можно некоторым образом получать теоремы (подробнее этот вопрос будет изучаться в следующих параграфах). Если теоремы заданы указанным образом, т.е. заданием аксиом и конечного числа правил вывода, то эта дедуктивная теория называ­ ется формальной аксиоматической теорией или формальным (логиче­ ским)исчислением. Особо отметим, что аксиомы лишь задаются, поэтому их часто называют скрытыми определениями. Бытующее мнение, согласно которому аксиомы принимаются без доказательств, не совсем точно передает суть дела. 138