Xl Туполевские чтения : всероссийская (с международным участием) молодежная научная конференция. Казань, 8-10 октября 2003 г., тезисы докладов. Т. 3

Точность решения СЛАУ методом Гаусса Т.Т. Газизов Научный руководитель: Т.Р. Газизов, к.т.н., доцент Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Современное проектирование электронных средств часто сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с плохо обусловленной матрицей большого порядка. Использование для этого из вестного метода Гаусса отличается накоплением ошибки решения. Цель данной работы - исследовать точность решения СЛАУ методом Гаусса в зависимости от числа обусловленности, порядка матрицы и точ­ ности представления чисел. Верхняя фаница для точности решения методом Гаусса равна: ЦДХЦ,2 " ' [ V N + I 1 cond[A] 1 - VNcond[A]2 " ' где t - количество бинарных разрядов представления числа, N - порядок матрицы [А] и cond[A] - её число сбуслоаленности равное отношению максимального к минимальному из её собственных значений. Исследована точность решения в зависимости от порядка матрицы от 10^ до 10' при числе разрядов равном 24, 32, 64 и 80 и при трёх значениях числа обусловленности: 1, Ю', Ю'. В итоге сделаны следующие выводы: 1. При увеличении N во всём диапазоне точность решения ухудшает­ ся всего на один-два порядка. 2. Рост числа обусловленности матрицы на три порядка ухудшает точность решения приблизительно так же на три порядка. 3. Переход от 24 разрядов к большему числу разрядов резко улучшает точность решения и значительно расширяет область применимости метода Гаусса. Так, большая ошибка (>1) для числа обусловленности Ю' при 24 разрядах становится гораздо меньшей (<10'^) для малых N уже при 32 раз­ рядах и совершенно незначительной (<10 '^) при 64 разрядах, 4. При снижении числа обусловленности от 10' до 10' ошибка стано­ вится приемлемой (<10"') во всём диапазоне изменения N даже для 24 раз­ рядных чисел и незначительной (<10"^) при 32 разрядах. 5. Применение повышенной разрядности числа, особенно при хорошо обусловленных матрицах, является избыточным, во всяком случае, для решения СЛАУ с заданной точностью. Таким образом, при используемых в современных сопроцессорах 80 разрядных числах метод Гаусса вполне применим независимо от порядка матрицы и, что самое важное, независимо от её числа обусловленности. 9 ?