Xl Туполевские чтения : всероссийская (с международным участием) молодежная научная конференция. Казань, 8-10 октября 2003 г., тезисы докладов. Т. 3

Численное решение одной коэффициентной обратной задачи методом регуляризации Д.М. Валишина Научный руководитель: П.Г. Данилаев, д.ф.-м.н., профессор Казанский государственный технический университет им. А.Н. Туполева Рассматривается условно-корректная задача нахождения младшего коэффициента уравнения параболического типа, который не зависят от времени. Суть задачи заключается в том, что ищется решение дифферен­ циального уравнения параболического типа, когда дифференциальный оператор содержит неизвестный коэффициент. Известно, что эта задача редуцируется к решению интегрального уравнения Фредгольма первого рода. Так доказывается ее некорректность в смысле Ж. Адамара. Задача решается в рамках определения корректно­ сти по А.Н. Тихонову (условной корректности). Постановка задачи основана на результатах доказательства соответ­ ствующей теоремы единственности. Следуя им, уравнение рассматривает­ ся совместно с переопределенным набором краевых условий. Ранее для решения задачи использовался метод квазиобращения. Задача исследуется в вариационной постановке. После перехода к новой неизвестной функции, которая вводится при исключении неизвест­ ного коэффициента из уравнения, минимизируется невязка вновь получен­ ного интегро-дифференциального уравнения. . Для решения вариационной задачи используется метод регуляриза­ ции. Специальным образом выбирается сглаживающий функционал (ста­ билизатор). При продолжении решения уравнения параболического типа, когда переопределенные краевые условия заданы на всей границе, задача квазиобращения совпадает с частным случаем регуляризованной вариаци­ онной задачи. Проведены численные расчеты, которые показали, что усиление ре­ гуляризации при переходе к исследованию вариационной постановки зада­ чи, приводит к расширению возможностей решения, в частности к увели­ чению промежутка времени, на котором оно ищется. Исследовано влияние выбора весовых коэффициентов, входящих в стабилизатор, параметра регуляризации и параметров разностной задачи на поведение численного решения. 4