Xl Туполевские чтения : всероссийская (с международным участием) молодежная научная конференция. Казань, 8-10 октября 2003 г., тезисы докладов. Т. 3

Геометрические представления при анализе системы Лоренца в окресностях точек равновесия P.P. Шарипов Научные руководители: В.В. Афанасьев, к.т.н., доцент; Ю.Е. Польский, д.ф.-м.н., профессор Казанский государственный технический университет им. А.Н. Туполева Экспериментальные исследования системы Лоренца дают различную плотность заполнения фазового пространства в окрестностях точек устойчивого равновесия, поэтому для анализа данных областей требуется рассмотрение качественных методов их анализа, одним из которых является метод геометрических представлений. Данный метод основан на представлении системы дифференциальных уравнений, в виде уравнения сравнения: 0'^(x,y,z,c) = 0,{^x,y,z,c) (1) Для оценки поведения системы Лоренца в окрестностях точек равновесия с координатами хО = •^Ь{г - 1), уО = -Jb{r-\) и j O = г- 1 применим следующие функции: Ф1= [Л:]?+i2>'+ где х=х-хО, у = у-уО, г = г - гО и Ф2=^к2Г- k^<j)x + (к-^<7 -к2)у-k^bz-k2XZ + к^ху). (2) Функция Ф1 в уравнении (1) есть плоскость, проходящая через одну точку равновесия (xO,yO,zO). Коэффициенты к^, ^2 " определяют наклон данной плоскости к основным плоскостям декартовой системы. Изменяя коэффициенты k^, и к^ изменяется и функция Ф2, тем самым по ее знаку можно определить движение фазовой траектории относительно дочки равновесия в каждой плоскости, а значит данное множество плоскостей определяет поведение системы в пространстве. Т к нас интересует поведение функций (2) в окрестности точки хО, уО, zO. то произведем подстановку и найдем Ф2(хО, уО, zO) (3) Выражение (3) равно нулю при любых значениях к^, к^, , а это значит, что при любом подходе к точке равновесия траектория от нее не отталкивается. В силу симметрии системы Лоренца, все выше рассмотренные рассуждения можно отнести и ко второй точке равновесия х=-хО, у=-уО и z=zO, В результате проведенный анализ функций (2) показал отсутствие отталкивающего многообразия фазового пространства при вариациях угла наклона плоскости Ф1=0 к точкам равновесия 136