Дифференциальные уравнения

8 ( ) . y f x dx C    (1.7) Если задано начальное условие, то можно вычислить значение С и получить частное решение. Пример. Решить уравнение 1 2 3' 2    x x y с начальным условием 2  y при .1  x Решение. Общее решение . ; )( 2 3 Cx x x y Cdxxf y       Положим в общем решении 2  y при 1  x и найдем частное решение: .1 1 2 3  x x xy C Дифференциальное уравнение вида 1 2 ( ) ( ) 0, f x dx f y dy   (1.8) где множителем при dx является функция, которая зависит только от x , а множителем при dy - функция, зависящая только от y , называется уравнением с разделенными переменными. Предположим, функция является его решением. Если вычислить и подставить в уравнение (1.8) вместо y и dy их выражения и , то согласно определению решения, получим тождество ( ) , которое можно проинтегрировать таким образом: ∫ ∫ ( ) (1.9) где в левой части содержатся первообразные функции и , а произвольные постоянные от обоих интегралов объединены в одно произвольное постоянное С , помещенное в правой части. Второй интеграл можно преобразовать посредством замены переменной, считая что . При этом равенство (1.9) преобразуется к виду 1 2 ( ) ( ) . f x dx f y dy C     (1.10)