Дифференциальные уравнения

74 2 A 1 =0, 6 A 1 + 2 A 2 = 0 2 A 1 + З A 2 + 2 A 3 = 0 , решая которую находим A 1 = 2 , A 2 = - 6 , A 3 = 7, так что Уч.н = (2 x 2 -6x+7) e x , Общее решение данного уравнения: y ( x )= C 1 + С 2 е -x +(2x 2 –6x+7) Пример 4. Найти общее решение уравнения у" +10 у' +25 у = 4е -5x Решение. Характеристическое уравнение 10 х +25=0 имеет двукратный корень λ 1 =λ 2 = -5, поэтому У o.o =(C 1 +С 2 х) е - 5 x так как а=-5 является корнем характеристического уравнения кратности s= 2 , то частное решение у ч.н неоднородного уравнения ищем в виде (см. табл.1, случай 2) y ч.н = Вx -5 x , тогда у' ч.н = В (2x-5x 2 )е -5x y" ч.н =B (2 - 20 x+ 25 x 2 ) e - 5 x Подставляя выражения для у ч.н , у' ч.н , . у" ч.н в исходное уравнение, получаем 2 B e -5 x =4 e -5 x , откуда В= 2 и, значит, y ч.н = 2 х 2 e - 5 x . Общее решение данного уравнения y(x)=(С 1 +С 2 x)e -5x +2x 2 е -5x Контрольные вопросы 1. Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением n -го порядка? 2. Записать линейный дифференциальный оператор (ЛДО). 3. Перечислить свойства ЛДО. 4. Перечислить свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений n -го порядка (ЛОДУ). 5. Какие функции называются линейно независимыми? 6. Какие функции называются линейно-зависимыми?