Дифференциальные уравнения

73 Характеристическое уравнение λ 3 -λ 2 =0 имеет корни λ 1 = λ 2 =0 и λ 3 =1, поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения будет y о.о = С 1 +С 2 x+С 3 e, x так как число 0 есть двукратный корень характеристического уравнения, т.е. частное решение надо искать в виде: у ч.н =x 2 ( A 1 x 2 +A 2 x+A 3 ) =A 1 x 4 +A 2 x 3 +A 3 x 2 . Подставляя выражение для y ч.н в данное уравнение будем иметь: - 12 A 1 x 2 +(24 A 1 - 6 A 2 ) x+( 6 A 2 - 2 A 3 )= 12 x 2 + 6 x, откуда -12 А 1 = 12 , 24 A 1 - 6 A 2 = 6 , 6 A 2 - 2 A 3 = 0 , Эта система имеет решение: A 1 =- 1 , A 2 =- 5 , A 3 =- 15, а значит y ч.н =-x 4 - 5 x 3 - 15 x 2 . общее решение данного уравнения: Y о.н = С 1 +С 2 x+C 3 e x -x 4 - 5 x 3 - 15 x 2 . Пример 2. Найти общее решение уравнения y’’ + у' =4 x 2 e x . Решение. Характеристическое уравнение λ 2 + λ= 0 имеет корни λ 1 = 0 и λ 2 =- 1. Значит, общее уравнение y о.о соответствующего однородного уравнения будет: Y о.о =С 1 +С 2 e -x , так как а=1 не является корнем характеристического уравнения, частное решение у ч.н неоднородного уравнения ищем в виде (см. табл.1, случай 2) ( у ч.н = ( A 1 x 2 + A 2 х+ A 3 ) e x Подставляя его в исходное уравнение и сокращая обе части уравнения на e x , будем иметь: 2 A 1 x 2 + (6 A 1 + 2 A 2 ) x+ 2 A 1 + З A 2 + 2 A 3 = 4 x 2 , Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства, получаем линейную систему уравнений для нахождения коэффициентов A 1 , A 2 , A 3 :