Дифференциальные уравнения

72 y ч.н = x s e α x [ ̃ k ( x )cosβ x + ̃ k ( x )sinβ x], где k = max ( m, e ) ,P k ( x ) и Q m ( x ) – многочлены от x k -й степени общего вида с неопределенными коэффициентами, а s – кратность корня λ = α +i β характеристического уравнения(если α ± i β не является корнем характеристического уравнения, то s= 0). Для нахождения частного решения ЛНДУ используется табл. 1, в которой по виду правой части ЛНДУ, т.е. функции q ( x ), определяется вид частного решения. Таблица 1. Сводная таблица видов частных решений для различных видов правых частей [4], [7] № п / п Правая часть дифференциального уравнения Корни характеристического уравнения Виды частного решения 1 P m (x) Число 0 не является корнем характеристического уравнения ̃ m ( x ) Число 0 — корень ха- рактеристического уравнения кратности s x s ̃ m ( x ) 2 P m (x) e α x Число α не является корнем характеристического уравнения ̃ m ( x ) e α x Число α является корнем характеристического уравнения кратности s x s ̃ m ( x ) e α x 3 P n ( x )cosβ x + Q m ( x )sinβ x Числа ±i β не являются корнями характеристического уравнения ̃ k ( x )cosβ x + ̃ k ( x )sinβ x Числа ±i β являются корнями характери- стического уравнения кратности s x s ( ̃ k ( x )cosβ x + ̃ k ( x )sinβ x) 4 e αx [ P n ( x )cosβ x + Q m ( x) sinβ x] Числа α ±i β не являются корнями харак- теристического уравнения e α x [ ̃ k ( x )cosβ x + ̃ k ( x )sinβ x ] Числа α ±i β являются корнями харак- теристического уравнения e α x [ ̃ k ( x )cosβ x + ̃ k ( x )sinβ x ] x s Пример 1. Найти общее решение уравнения y ’’’ –y’’ =12 x 2 +6 x . Решение.