Дифференциальные уравнения

71 имеет =1 корень кратности 3. Общее решение     2 0 1 2 . x y x С С x С x e    Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами Рассмотрим уравнение вида ( ) ( -1) 1 [ ] ( ) ... ( ) , n n n L y q x y a y a y q x      (3.21) где i a - const. Наряду с уравнением (3.21) рассмотрим соответствующее ему ЛОДУ [ ] 0. L y  Характеристическое уравнение для уравнения (2) имеет вид 1 1 ( ) ... n n n P a a         . В общем случае интегрирование уравнения (3.21) может быть осуществлено методом вариации произвольных постоянных. В случае ЛНДУ с постоянными коэффициентами, помимо этого метода, может быть применен метод неопределенных коэффициентов (метод подбора). Метод подбора . По рассмотренной теореме общее решение неоднородного уравнения (3.21) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения. Отыскание общего решения соответствующего однородного уравнения осуществляется по изложенным правилам. Таким образом, задача интегрирования уравнения (3.21) сводится к отысканию частного решения y ч.н неоднородного уравнения. Для правых частей специального вида частное решение находится так называемым методом подбора . Общий вид правой части q ( х ) уравнения (3.21), при котором возможно применить метод подбора, следующий: q ( х ) =е α x [ Р e ( x )cosβ x + Q m ( x )sinβ x ], где Р e (х ) и Q k ( x )суть многочлены степени e и m соответственно. В этом случае частное решение y ч.н . уравнения (3.21) ищется в виде: