Дифференциальные уравнения

70 . p n  Но для построения общего решения ЛОДУ на основании теоремы об общем решении, необходимо располагать n решениями. Где взять остальные ( n-p ) решений? На основании определения кратности корня Подставим функцию y= в уравнение (3.18), для простоты записи положим λ 1 = λ , тогда [ ] Продифференцируем последнее равенство s раз по λ с использованием формулы Лейбница:         0 , n n n k k k n k u v C u v      т.е. [ ] [ ] . Для левой части равенства [ ] [ ] . После s -кратного дифференцирования имеем [ ] ∑ Вернемся в последнем равенстве к λ 1 , тогда: :0  s [ ] -решение уравнения (3.18); :1  s [ ] - решение уравнения (3.18); ;2  s [ ] - решение уравнения (3.18); . . . ;1 1   k s [ ] - решение уравнения (3.18); : 1 k s  [ ] - не является решением уравнения (3.18). Таким образом, решениями дифференциального уравнения (3.18), соответствующими корню , кратности k 1 , являются функции: , . Пример. Решить дифференциальное уравнение ''' 3 '' 3 ' 0. y y y y     Решение. Характеристическое уравнение ;