Дифференциальные уравнения

69 Следовательно, - решения уравнения (3.18). Применяя известную формулу Эйлера для первой функции, имеем По свойству 4 решений ЛОДУ , - есть решения уравнения (3.18). Проведем аналогичные действия для второй функции: x i e xy ) ( )(     и получим , . Функции y 3 , y 4 - линейные комбинации функций y 1 , y 2 , т.е. являются линейно- зависимыми. Поэтому рассмотрение корня Xарактеристического уравнения никаких новых решений не дает, т.е. паре комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения соответствует пара решений уравнения (3.18) вида: Если при этом все остальные корни являются действительными и различными, то ФСР будет иметь вид { } Общее решение уравнения (3.18) записывается следующим образом: Пример. Решить дифференциальное уравнение '' 2 ' 5 0. y y y    Решение. Характеристическое уравнение имеет корни Частные решения уравнения, образующие ФСР: 1 2 cos 2 ; sin 2 . x x y e x y e x   Общее решение x ec x ec xy x x 2 sin 2 cos )( 2 1   . Случай кратных корней характеристического уравнения . Пусть - корень кратности k 1 характеристического уравнения (3.20) , все остальные простые действительные, тогда различных корней характеристического уравнения будет меньше, чем n и частных решений уравнения (3.18), соответствующих различным корням, будет меньше, чем n :