Дифференциальные уравнения

68 Покажем, что эти функции линейно независимы, т.е. образуют фундаментальную систему решений уравнения (3.18). Определитель Вронского этой системы | | | | | | Так как все корни характеристического уравнения различны, а функция e λ x не обращается в нуль , то 1 2 [ , ,..., ] 0. n W y y y  Из этого следует, что 1 2 , ,..., n y y y линейно независимые, а значит, образуют ФСР ЛОДУ (3.18). Общее решение может быть записано в виде: ∑ Пример. Решить дифференциальное уравнение Решение. Характеристическое уравнение имеет вид Его корни Частные решения образующие ФСР: 0 1 ; x y e  2 ; x y e  3 ; x y e   Общее решение дифференциального уравнения   1 2 3 . x x y x C C e C e     Случай, когда среди корней характеристического уравнения имеются комплексные корни . Пусть - корень характеристического уравнения (3.20). Комплексные корни могут появляться только парами, т.е. .