Дифференциальные уравнения

67 Уравнение (3.18) можно переписать с использованием ЛДО в виде   0. L y  Решение уравнения (3.18) будем искать в виде (3.19) . где λ - неизвестная величина, для определения которой следует подставить функцию (3.19) в уравнение (3.18), при этом получаем уравнение вида или . Таким образом, подстановка в уравнение (3.18) приводит его к виду В последнем равенстве (3.20) принято называть характеристическим уравнением (ХУ) дифференциального уравнения (3.18). Таким образом, было показано, что если функция e λx является решением дифференциального уравнения (3.18), то λ является корнем характеристического уравнения, и наоборот. Следует помнить, что: 1. Число λ=λ 1 называют простым корнем характеристического уравнения (3.20), если P (λ) можно записать в виде где . 2. Число λ 1 называют корнем кратности k характеристического уравнения (3.20), если многочлен P (λ) можно записать в виде где 3. Характеристическое уравнение должно иметь n решений. Случай различных действительных корней характеристического уравнения . Пусть все корни характеристического уравнения (3.20) действительны и различны, т.е. , . В этом случае имеем n различных частных решений уравнения (3.18) ... ;