Дифференциальные уравнения

66 ∑ ∑[∫ ̅ ] где первое слагаемое - общее решение ЛОДУ, второе - частное решение ЛНДУ. Пример. Решить ЛНДУ . Рассмотрим соответствующее ЛОДУ: y''+y=0. Общее решение ЛОДУ: . Частное решение ЛНДУ запишем в виде . Найдем , : ' ' ' 1 2 1 2 ( ) ( ) cos ( )sin ( )sin ( ) cos y x c x x c x x c x x c x x     , '' ' ' 1 2 1 2 ( ) ( )sin ( ) cos ( ) cos ( )sin y x c x x c x x c x x c x x      Подставим и в ЛНДУ и получим: x x xc x xc x xc x xc x xc x xc cos 1 sin)( cos )( sin)( cos )( cos )( sin)( 2 1 2 1 ' 2 ' 1        . Имеем СЛАУ относительно неизвестных )( ' xc i , cos 1 cos )( sin)( ;0 sin)( cos )( ' 2 ' 1 ' 2 ' 1           x x xc x xc x xc x xc . тогда и соответственно ∫ ̅̅̅ | | ̅̅̅ ̅̅̅ . Общее решение ЛНДУ имеет вид     1 2 1 2 ( ) cos sin ln cos cos sin y x c x c x x c x x c x       . Линейные однородные дифференциальные уравнения n -порядка с постоянными коэффициентами Понятия и определения . Пусть дано линейное однородное дифференцируемое уравнение n -го порядка     1 1 ... 0, n n n y a y a y      (3.18) Здесь a 1 , a 2 , … , a n - постоянные коэффициенты.