Дифференциальные уравнения

63 [∑ ] ∑ ∑ ⏟ ∑ Функция   xya i n i i   1 решение ЛНДУ вид     xya yL i n i i    1 . 3. Если комплекснозначная функция является решением ЛНДУ вида то действительная часть - решение ЛНДУ а мнимая часть v(x) - решение ЛНДУ . Доказательство , аналогичное доказательству свойства 1, при этом надо помнить, что комплексное выражение равно нулю в том случае, когда равны нулю его действительная и мнимая части. Теорема о структуре общего решения ЛНДУ . Общее решение ЛНДУ (3.14) с непрерывными на отрезке a,b     коэффициентами и непрерывной правой частью равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (3.15) и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения (3.14). Доказательство. Пусть - некоторое частное решение ЛНДУ (3.14), а система функций { } - ФСР соответствующего ЛОДУ (3.16). Необходимо доказать, что 1 n i i i y(x)= c y (x)+ y(x)   - общее решение ЛНДУ (3.15). Доказательство основывается на использовании свойств решений ЛНДУ и определении общего решения (аналогично теореме об общем решении ЛОДУ). Доказанная теорема позволяет построить общее решение ЛНДУ по общему решению соответствующего ЛОДУ и какому-нибудь частному решению ЛНДУ. В случае, если частное решение указать нельзя, но общее решение соответствующего ЛОДУ известно, можно проинтегрировать ЛНДУ методом вариации постоянных . i , C i=1,n