Дифференциальные уравнения

62 Следствие из теоремы . Число линейно независимых частных решений ЛОДУ, образующих ФСР, равно порядку этого уравнения. Свойства решений линейного неоднородного дифференциального уравнения Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) n -го порядка, здесь коэффициенты p i ( x ) ( i=1,n ), q ( x ) непрерывные на отрезке a,b     функции. Дифференциальное уравнение вида (3.15) является однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (3.15). На основании свойств линейного дифференциального оператора доказываются свойства решений ЛНДУ. 1. Сумма функций 1 y + y , где 1 y - решение ЛНДУ (3.15) и y - решение соответствующего ему ЛОДУ (3.15), есть решение ЛНДУ (3.14). Доказательство .   1 1 y L y + y = L y +L =q(x)+0=q(x)=> 0 q(x)         таким образом ̃ - решение ЛНДУ (3.15). 2. Если i y (x), i=1,n являются решениями соответствующих ЛНДУ вида , тогда линейная комбинация i y (x), i=1,n с произвольными постоянными коэффициентами i a , i=1,n , т.е. 1 ( ) n i i i a y x   будет являться решением ЛНДУ вида   1 n i i i L y = a q (x).   Свойство носит название принцип суперпозиции решений. Доказательство. (3.14)