Дифференциальные уравнения

60 Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение n - порядка: ,0 )( )( )1 ( )(      yxp yxp y n n i n  (3.10) с непрерывными на [ a,b ] коэффициентами )( xp i , n i ,1  . Теорема. Общим решением ЛОДУ (3.10) с непрерывными на [ a,b ] коэффициентами )( xp i является линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами частных решений ЛОДУ, образующих фундаментальную систему решений этого ЛОДУ. Доказательство . Пусть { )( , ), ( ), ( 2 1 xy xyxy n  } - есть ФСР ЛОДУ (3.10). Необходимо доказать, что функция )( )( 1 xyC xy i i n i    (3.11) является общим решением ЛОДУ (3.10). В соответствии с определением общего решения функция y ( x ) является общим решением ЛОДУ (3.10), если: 1) она является решением ЛОДУ (3.10), 2) имеется возможность указать такие числовые значения постоянных n C CC , , , 2 1  , при которых эта функция y ( x ) будет удовлетворять заданным начальным условиям. Функция (3.11) - есть решение уравнения (3.10) по третьему свойству решений ЛОДУ. Покажем, что для этой функции выполняется условие 2): Зададим начальные условия: 1 ( 1) 1 ( 1) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) , ( ) , , ( ) [ , ]; , , , n n n y x y y x y y x y x a b y y y            . (3.12) Подставим функцию (3.11) в начальные условия (3.12):