Дифференциальные уравнения

59 0 2 1 2 22 21 1 12 11   nn n n n n a a a a a a a a a        . Сформулируем для уравнения (3.8) n задач Коши с начальными условиями: ; ) ( , , ) ( ; ) ( ; ) ( 0 )1 ( 3 0 2 0 1 0 ni n i i i i i i i a x y a xy a xya xy         ],[ ; ,1 0 ba x n i   . (3.9) Тогда в силу того, что для данного уравнения (3.8) справедлива теорема Пикара, любая задача Коши имеет единственное решение. Обозначим: )( 1 xy - решение первой задач Коши; )( 2 xy - решение второй задачи Коши; . . . ( ) n y x - решение n -ой задачи Коши. Таким образом, получили n функций )} ( { xy i , . ,1 n i  Теперь надо показать, что эта система функций является линейно независимой. Составим для )} ( { xy i , n i ,1  определитель Вронского: )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )1 ( )1 ( 2 )1 ( 1 2 1 2 1 x y x y x y x y x y xy x y xy xy xW n n n n n n              . Этот определитель в точке 0 x x  будет равен  и не равен нулю 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 )1 ( 0 )1 ( 2 0 )1 ( 1 0 0 2 0 1 0 0 2 0 1 0        x y x y x y x y x y xy x y xy xy xW n n n n n n        . В силу произвольного выбора точки, 0 [ , ] x a b  определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке отрезка [ a,b ], следовательно, система функций )} ( { xy i линейно независима, поэтому образует ФСР ЛОДУ (3.8).