Дифференциальные уравнения

58 Тогда 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 2 2 0 11 0          xya xya xya xy n n  в соответствии со вторым уравнением системы (3,7). Рассматривая все производные у ( х, ) вплоть до ( n -1), получаем 0 ) ( 0 )1 (     x y n . Убедились, что функция y ( x ) является решением ЛОДУ (3.6), соответствующим начальным условиями .0 ) ( , ,0 ) ( ,0 ) ( 0 )1 ( 0 0      x y xy xy n  Но ЛОДУ (3.6) с непрерывными коэффициентами в соответствии с теоремой Пикара, имеет единственное решение, определяемое начальными условиями. Очевидно, что нулевым начальным условиям удовлетворяет тривиальное решение ЛОДУ 0 )(  xy . В силу единственности решения уравнения (3.6) можно утверждать, что построенная нами функция . ,1 ,0 ,0 )( )( )( )( 2 2 11 n i xy xy xy xy i n n             Но это означает )} ( { xy i - линейно зависимы, что противоречит условию теоремы и, следовательно, наше предположение о существовании точки ],[ 0 ba x  такой, что 0 ] [ 0  xW неверно. Фундаментальной системой решений (ФСР) линейного однородного дифференциального уравнения называются любые n линейно независимых решений данного уравнения. Теорема. Линейное дифференциальное уравнение n -го порядка с непрерывными коэффициентами на отрезке [ a,b ] имеет ФСР на этом отрезке. Доказательство . Пусть дано ЛОДУ с непрерывными на отрезке [ a,b ] коэффициентами .0 )( )( )1 ( 1 )(      yxp yxp y n n n  (3.8) Выберем 2 n произвольных чисел, так чтобы составленный из них определитель не был равен нулю: