Дифференциальные уравнения

57 Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения Рассмотрим линейное однородное уравнение n -го порядка ,0 )( )( )1 ( 1 )(      yxp yxp y n n n  (3.6) здесь )( xp i - непрерывная на отрезке [ a,b ] функция. Теорема . Если )( , ), ( ), ( 2 1 xy xyxy n  линейно независимые частные решения ЛОДУ (3.6) с непрерывными на отрезке [ a, b ] коэффициентами, то их определитель Вронского не может обращаться в нуль ни в одной точке этого отрезка. Доказательство. Доказательство от противного. Предположим, нашлась точка .0 ) ( :],[ 0 0   xWba x Составим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных n a aa , , , 2 1  , определителем которой являлся бы определитель Вронского для функций n ixy i ,1 ), (  :                          0 )( )( )( .. .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ;0 ) ( ) ( ) ( ;0 ) ( ) ( ) ( )1 ( )1 ( 2 2 )1 ( 11 0 0 2 2 0 11 0 0 2 2 0 11 x ya x ya x ya xya xya xya xya xya xya n n n n n n n n n    . (3.7) Если 0 ) ( 0   xW , то система имеет множество решений, т.е. кроме нулевого решения ( n i a i ,1 ,0   ) 0  i a , являющиеся решениями системы (3.7). Выберем эти 0  i a в качестве коэффициентов линейной комбинации )( )( )( )( 2 2 11 xya xya xya xy n n      . Функция y ( x ) будет являться решением ЛОДУ (3.6) (третье свойство решений ЛОДУ). Частное решение, согласно первому уравнению системы (3.7), имеет вид .0 ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 2 2 0 11 0      xya xya xya xy n n 