Дифференциальные уравнения

56 Теорема . Если )( , ), ( ), ( 2 1 xy xyxy n  линейно-зависимые на отрезке [ a,b ] функции, то их определитель Вронского тождественно равен нулю в каждой точке отрезка [ a,b ] .0 )( )( )( )( )( )( )( )( )( ] , , , [ ][ )1 ( 2 )1 ( )1 ( 1 2 1 2 1 2 1          x y x y x y x y xy xy x y xy xy y yyWxW n n n n n n n         Доказательство . Пусть система функций },1 ), ( { n ixy i  - линейно зависима, т.е. .],[ ,0 )( ,0 1 1      n i i i ba x xya a Продифференцируем последнее равенство ( n -1) раз. Тогда получим систему линейных алгебраических уравнений относительно i a { Известно, что эта система имеет не нулевое решение (по условию теоремы), но эта система однородная, следовательно, имеет также нулевое решение. Отличие определителя системы от нуля является условием единственности решения. Поэтому ненулевое решение системы возможно только в том случае, когда определитель равен нулю. Определитель системы состоит из коэффициентов при неизвестных i a и равен нулю: , )( )( ) )( )( )( )1 ( )1 ( 1 1 1 x y x y xy xy xy xy n n n n n            а это и есть определитель Вронского для функций )( , ), ( ), ( 2 1 xy xyxy n  и он равен нулю, что и требовалось доказать.