Дифференциальные уравнения

55 Система функций )( , ), ( ), ( 2 1 xy xyxy n  называется линейно-зависимой на отрезке [ a,b ], если найдутся коэффициенты n a aa , , , 2 1  , не все равные нулю, такие что ],[ ,0 )( )( )( 2 2 11 ba x xya xya xya n n      . (3.5) Система функций )( , ), ( ), ( 2 1 xy xyxy n  называется линейно независимой , если равенство (3.5) выполняется только при нулевых коэффициентах. Пример 1. Пусть дана система функций .1 , cos , sin 3 2 2 2 1    y x y x y Но так как 1 cos sin 2 2   x x , то .1 ,1 ,1 011 cos 1 sin 1 3 2 1 2 2       a a a x x Для этой системы нашлись ненулевые коэффициенты, при которых линейная комбинация из функций системы равна 0. Значит, система функции линейно зависима. Пример 2. Пусть дана система функций n n x y x y x y y      1 2 3 2 1 , , , ,1  . Рассмотрим уравнение 0 1 2 3 2 1       n n x a xaxa a  , если 0  i a ,то это уравнение n -й степени, которое имеет n решений. Система функций линейно независима. Если функции { y 1 ( x ), y 2 ( x ),..., y n ( x )} дифференцируемы n-1раз, то из них можно построить определитель n-ого порядка, который имеет вид ... )( ... )( )( ... ... ... ... )( ... )( )( )( ... )( )( )( )1 ( )1 ( 2 )1 ( 1 ' ' 2 ' 1 2 1 x y x y x y x y xy xy x y xy xy xW n n n n n n     Этот определитель также является функцией от x и обозначается   )( ),..., ( ), ( )( 2 1 xy xyxyWxWW n   и называется определителем Вронского или вронскианом данной системы функций.