Дифференциальные уравнения

54 Теорема 1. Если )( 1 xy есть решение ЛОДУ (3.4) на отрезке [a,b], то )( 1 x Cy также решение этого уравнения. Доказательство . Пусть )( 1 xy - решение уравнения (3.4), т.е., 1 [ ] 0, L y  но тогда 1 1 1 0 ] [ ] [ yC yLC CyL    - решение ЛОДУ (3.4). Теорема 2 . Сумма двух решений )( 1 xy и )( 2 xy ЛОДУ (3.4) есть решение этого уравнения. Доказательство . Если 1 ( ) y x - решение уравнения (3.4)  0 ] [ 1  yL , )( 2 xy - решение (3.4)  0 ] [ 2  yL , тогда 2 1 2 1 2 1 0 ] [ ] [ ] [ y y yL yL y yL     - решение уравнения (3.4). Теорема 3 . Линейная комбинация частных решений n y yy , , , 2 1  ЛОДУ (3.4) с произвольными коэффициентами n a aa , , , 2 1  является также решением этого уравнения. Доказательство. На основании теоремы 1 и теоремы 2. Теорема 4 . Если ЛОДУ (3.4) имеет комплекснозначное решение iv u y  , то его действительная и мнимая части, каждая в отдельности, также является решениями этого уравнения. Доказательство. Пусть функция )( )( x iv xu y   - решение ЛОДУ (3.4), т.е. [ ( ) ( )] 0, L u x iv x   но тогда по свойствам ЛДО 1 и 2 .0 ][ ][   v iL uL Комплексная величина обращается в нуль тогда и только тогда, когда обращаются в нуль ее действительная и мнимая части: )( 0 ][ xu uL  - решение (3.4), )( 0 ][ xv vL  - решение (3.4). Линейная зависимость функций Определитель Вронского его применения Пусть функции )( , ), ( ), ( 2 1 xy xyxy n  определены на некотором отрезке [ a,b ].