Дифференциальные уравнения

53 Свойства линейного дифференциального оператора 1. Постоянную C можно выносить за знак линейного дифференциального оператора: [ ] [ ]. L Cy CL y  Докажем это: ]. [ ])( )( )( [ )( )( )( ] [ )2 ( 2 )1 ( 1 )( )2 ( 2 )1 ( 1 )( yLC yxp yxp yxp yC Cy xp Cy xp Cy xp Cy CyL n n n n n n n n                    2. Линейный дифференциальный оператор, примененный к сумме двух функций равен сумме результатов применения линейного дифференциального оператора к каждой из этих функций в отдельности: ]. [ ] [ ] [ 2 1 2 1 yL yL y yL    Докажем это: ]. [ ] [ ) )( )( )( ( ) )( )( )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) ( ] [ 2 1 2 )2 ( 2 2 )1 ( 2 1 )( 2 1 )2 ( 1 2 )1 ( 1 1 )( 1 2 1 )2 ( 2 1 2 )1 ( 2 1 1 )( 2 1 2 1 yL yL yxp yxp yxp y yxp yxp yxp y y yxp y yxp y yxp y y y yL n n n n n n n n n n n n                                  3. Результат применения линейного дифференциального оператора к линейной комбинации функций i y с постоянными коэффициентами n a aa , , , 2 1  равен линейной комбинации с теми же коэффициентами результатов применения линейного дифференциального оператора к каждой из функций i y ).] [ ( 1 1            n i i i n i i i yLa ya L Доказательство основывается на 1-м и 2-м свойствах. Линейные однородные дифференциальные уравнения. Свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений Пусть дано линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) .0 )( )( )( )2 ( 2 )1 ( 1 )(        yxp yxp yxp y n n n n  (3.4) С использованием свойств ЛДО легко доказывают следующие теоремы, устанавливающие свойства решений ЛОДУ.