Дифференциальные уравнения

52 ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Основные понятия и определения Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение, в которое неизвестная функция и ее производные до n -го порядка входят в первой степени ). ( )( )( )( )2 ( 2 )1 ( 1 )( xq yxp yxp yxp y n n n n         (3.1) Коэффициенты этого уравнения 1 2 ( ), ( ), , ( ) n p x p x p x и )( xq :- непрерывные функции на отрезке [ a,b ], этого достаточно, чтобы выполнились все условия существования и единственности решения задачи Коши: или ). ( , ), ( ), ( )1( )1 ( )1 ( )( x p y f x p y f x p y f n n n             Таким образом, функция ) , , , ,( )1 (   n y yyxf  непрерывна и удовлетворяет в каждой точке условию Липшица по y , значит, существует единственное решение уравнения (3.1), удовлетворяющее начальным условиям: 1 1 ( 1) 0 0 0 0 0 0 0 ( ) , ( ) , , ( ) , [ , ]. n n y x y y x y y x y x a b         (3.2) Если 0 )(  xq , уравнение (3.1) называется однородным . Чаще уравнение (3.1) записывается в виде )( ][ xq yL  . Левая часть уравнения называется линейным дифференциальным оператором (ЛДО): .)( )( )( ][ )2 ( 2 )1 ( 1 )( yxp yxp yxp y yL n n n n         (3.3)