Дифференциальные уравнения

3 Оглавление ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................................................................. 5 ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИМЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.................................... 6 Основные понятия и определения......................................................................................................... 6 Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными ......................................................... 7 Дифференциальные уравнения, однородные относительно х , у и приводящиеся к ним ................ 10 Обобщенные однородные дифференциальные уравнения. .............................................................. 13 Линейные уравнения первого порядка и приводящие к ним ........................................................... 14 Уравнения в полных дифференциалах ............................................................................................... 20 Уравнения первого порядка n-степени, не разрешенные относительно производной .................. 25 Задача Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка. ..................................................... 31 Особые точки.Особые решения........................................................................................................... 35 Метод Пикара ........................................................................................................................................ 37 Численные методы решения задачи Коши......................................................................................... 40 Контрольные вопросы .......................................................................................................................... 43 ГЛАВА 2. ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ............................. 46 Уравнения высшего порядка. Общие сведения ................................................................................. 46 Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка .................................................. 47 Контрольные вопросы .......................................................................................................................... 50 ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ .......... 52 Основные понятия и определения....................................................................................................... 52 Линейные однородные дифференциальные уравнения. Свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений ...................................................................................... 53 Линейная зависимость функций. Определитель Вронского и его применения ............................. 54 Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения ... 57 Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 60 Свойства решений линейного неоднородного дифференциального уравнения ............................ 62 Интегрирование линейного неоднородного дифференциального уравнения методом вариации постоянных ............................................................................................................................................ 64 Линейные однородные дифференциальные уравнения n -порядка с постоянными коэффициентами ................................................................................................................................... 66 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами ................................................................................................................................... 71 Контрольные вопросы .......................................................................................................................... 74 ГЛАВА 4. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ...................................................... 77 Основные понятия и определения....................................................................................................... 77 Интегрирование нормальных систем дифференциальных уравнений методом исключения неизвестных. .......................................................................................................................................... 80 Линейные системы дифференциальных уравнений .......................................................................... 82 Свойства решений линейных однородных систем дифференциальных уравнений ..................... 82