Высшая математика. Элементы линейной алгебры

23 Здесь А – матрица системы ; Х – матрица - столбец неизвест - ных ; В – матрица - столбец свободных членов ; p A – расширенная матрица : 11 12 1 1 1 2 ... ... ... ... ... ... ... n p m m mn m a a a b A a a a b     =       . В матричной форме удобнее вести элементарные преобразо - вания . Элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы . Матрицы , полученные одна из другой с помощью элементарных преобразований , называются эквивалентными . При решении систем применимы следующие элементарные преобразования : – перестановка строк ; – перестановка столбцов ( при этом надо писать над верхней строкой неизвестное , коэффициенты при которых содержит стол - бец ); – умножение элементов любой строки ( но не столбца !) на число , отличное от нуля , и сложение ее с другой строкой ; – вычеркивание строки , состоящей из нулей . Теорема Кронекера – Капелли . Для совместности системы линейных алгебраических уравнений необходимо и достаточно , чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной мат - рицы . Пример 1.8. 1 2 3 5 1 4 5 1 2 3 4 5 2 7 3 2; 2 3 1; 4 7 3 4 7 1. x x x x x x x x x x x x − + − =   + − = −   − + + − =  Решение . Поменяем местами первую и вторую строки . Первую строку , умноженную на 2, вычтем из второй , умно - женную на 4 – из третьей :