Аналитическая геометрия

7 Свойства умножения вектора на число Теорема. Для произвольных действительных чисел α и β и векторов a и b справедливы равенства: 1)     α β αβ a a  ; 2)   α α α a b a b    ; 3)   α β α β a a a    . Линейная зависимость. Базис. Координаты вектора Теорема. Если векторы 0 a  и b коллинеарны, то существует единственное действительное число  такое, что α b a  . Векторы a , b и c называются компланарными , если суще- ствует плоскость, которой они параллельны. Пример. Векторы a , b и 0 всегда компланарны. Теорема. Если векторы a , b и c компланарны и || a b , то су- ществует единственная пара действительных чисел α и β таких, что α β . c a b   Вектор b называется линейной комбинацией векторов 1 , a 2 , a … , n a если 1 1 2 2 α α ... α n n b a a a     , где 1 α , 2 α , …, α n R  . В этом случае говорят, что b линейно выражается через век- торы 1 , a 2 , a … n a . Система векторов 1 , a 2 , a … n a называется линейно зависимой , если существуют действительные числа 1 α , 2 α , …, α n , среди кото- рых хотя бы одно не равно нулю, такие, что линейная комбинация 1 1 2 2 α α ... α 0 n n a a a     . Система векторов 1 , a 2 , a … n a называется линейно независи- мой , если линейная комбинация 1 1 2 2 α α ... α 0 n n a a a     только то- гда, когда все числа α 0 i    {1,..., } i n   . Пример. При 1 n  вектор 1 0 a  всегда линейно независим.