Аналитическая геометрия

5  Правило параллелограмма . Для сложения двух векторов a и b по правилу параллелограмма берем два пред- ставителя OA и OB этих векторов так, что- бы их начала совпадали (рис. 2). Тогда век- тор суммы задаётся диагональю OC по- строенного параллелограмма OACB: c OC OA AC OA OB a b        Свойства сложения Теорема. Для произвольных векторов a , b и c справедливы равенства: 1)   0 a a    ; 2) 0 a a   и 0 a a   ; 3) коммутативность: a b b a    ; 4) ассоциативность:     a b c a b c      . Доказательство. Свойства 1 и 2 следуют из определения сложения векто- ров по правилу треугольника, записанно- го в терминах направленных отрезков. Свойство 3 следует из правила па- раллелограмма, так как противополож- ные стороны параллелограмма парал- лельны и равны, то: OA AC OB BC    или a b b a    . Свойство 4 легко доказать, опираясь на правило треугольника в терминах направленных отрезков (рис. 3):     a b c AB BC CD AC CD AD         ;     . a b c AB BC CD AB BD AD          c  a  b C B O A  a  b  c D C A B Рис. 2 Рис. 3