Аналитическая геометрия

20 h     a,b  a  b  c где ψ – угол между векторами , a b     и c , S – площадь паралле- лограмма, построенного на век- торах a и b , h – проекция век- тора c на перпендикуляр к плос- кости векторов a и b (рис. 8). Если угол ψ острый, то cosψ>0 , и , a b c V       – объем параллелепипеда, построенного на векторах a , b и c . Если угол ψ тупой, то cosψ<0 , и , a b c V        (рис. 8). Значит, , . a b c V       Таким образом, доказана следующая Теорема (геометрический смысл смешанного произведения трёх векторов). Если на трёх некомпланарных векторах a , b и c построен параллелепипед, то его объем равен модулю смешанного произведения векторов , . V a b c       Смешанное произведение векторов в координатной форме Пусть в репере   0, , , R i j k  заданы векторы   1 1 1 , , a x y z ,   2 2 2 , , b x y z ,   3 3 3 , , c x y z . Вычислим , . a b c      Пусть , . a b d      Тогда 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 , , . y z x z x y d y z x z x y        1 1 2 2 1 1 3 3 3 2 2 1 1 2 2 , y z x z x y a b c d c x y z y z x z x y            3 1 2 3 2 1 2 3 1 1 3 2 1 2 3 2 1 3 . x y z x y z x y z x y z x y z x y z      Рис. 9