Аналитическая геометрия

12 Простейшие свойства скалярного умножения 1. Критерий перпендикулярности двух векторов: a b   0 a b   . 2. 2 | | a a  , где 2 a a a   – скалярный квадрат вектора a . Теорема. Пусть в базисе   , , i j k векторы имеют координаты:   1 2 3 , , a a a a ,   1 2 3 , , b b b b . Тогда 1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b     . Следствие 1. Пусть   1 2 3 , , a a a a ,   1 2 3 , , b b b b в базисе   , , i j k . Тогда: 1 1 2 2 3 3 0 a b a b a b a b      Следствие 2. Пусть   1 2 3 , , a a a a ,   1 2 3 , , b b b b  два ненулевых вектора в ортонормированном базисе   , , i j k . Тогда:   ^ 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 cos . a b a b a b a b a a a b b b        Алгебраические свойства скалярного умножения Теорема. Для любого α R  и для любых векторов a , b и c справедливы равенства: 1. a b b a    ; 2.     α α a b a b    и     α α a b a b    ; 3.   a b c a c b c       . Следствие. Для любых векторов a , b , c и d справедливо:     . a b c d a c b c a d b d            Пример. Даны вершины треугольника: ( 1 ; 2 ;4 ), ( 4 ; 2 ;0 ), ( 3 ; 2 ;1 ). A B C     