Аналитическая геометрия

9 Можно показать, что любая упорядоченная система трёх не- компланарных векторов образует базис. Кроме того, любой базис пространства V состоит из трёх векторов, т.е. dim 3 V  . Обычно базис трёхмерного векторного пространства V обо- значают   1 2 3 , , e e e , векторы , i e называются базисными векторами . Пусть   1 2 3 , , e e e – какой-либо базис в V и a V  , тогда 1 1 2 2 3 3 a x e x e x e    (по теореме), то есть вектор a разложен по век- торам базиса. Коэффициенты в разложении вектора a по базису   1 2 3 , , e e e называются координатами вектора a в данном базисе. Обозначение:   1 2 3 , , a x x x  или   1 2 3 , , a x x x . Ортонормированный базис – это базис, векторы которого по- парно перпендикулярны и длины этих векторов равны единице. Обозначение:   , , i j k , где | | | | | | 1 i j k    и i j  , i k  , j k  . Пример. Коллинеарны ли векторы 6 2 , 3 , p a b q a b      где ( 1 ; 2 ;3 ), ( 2 ; 1 ;0 ) a b  ? Р е ш е н и е : 1) Найдем координаты векторов p и q , пользуясь тем, что при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число: ( 6 1 2 2 ;6 2 2 ( 1 );6 3 2 0 ) ( 3 1 2 ; 3 2 1 ; 3 3 0 ) ( 2 ;14 ;18 ), ( 1 ; 7 ; 9 ) p q p q                       2) Так как 2 14 18 1 7 9      ,