Теоретические основы электротехники

4 3.4.3 Решение неоднородного дифференциального уравнения Записывается решение неоднородного дифференциального уравнения в виде: i k = i I k + i II k , (3.1) где i k – ток в k – той ветви, решение неоднородного дифференциального уравнения, i I k – частное решение неоднородного дифференциального уравнения, принуждённая составляющая, i II k – решение соответствующего однородного уравнения, свободная составляющая. 3.4.4 Нахождение свободной составляющей i II k Для нахождения свободной составляющей тока i II k , составляется эквивалентная операторная схема замещения исходной цепи. Так как, вид свободной составляющей зависит только от параметров цепи и не зависит от внешних условий, то и в операторной схеме замещения отсутствуют операторные изображения внешних источников энергии (источников э.д.с. и тока). При составлении операторной схемы замещения осуществляются следующие преобразования: - сопротивление резистора « r » , в операторной форме имеет вид « r », - индуктивное сопротивление «ω L », в операторной форме имеет вид « pL », - ёмкостное сопротивление «1/ω C », в операторной форме имеет вид «1/ pC ». Составляется операторное уравнение по следующему правилу. Размыкается любая ветвь операторной схемы и относительно разомкнутых зажимов определяется эквивалентное операторное сопротивление Z ( p ) всей цепи. Далее записывается уравнение Z ( p ) = 0. После преобразований получаем операторное уравнение, которое является характеристическим уравнением при решении однородного дифференциального уравнения. Это будет квадратное алгебраическое уравнение имеющее вид: p 2 + 2δ p + ω 0 2 = 0. (3.2) Корни этого уравнения находятся как: p 1,2 = -δ ±√δ 2 − ω 0 2 . (3.3) Возможны 3 варианта решения: 1) если δ>ω 0 , корни вещественные и разные то решение будет иметь вид: i II k = 1 1 + 2 2 ; (3.4) 2) если δ = ω 0 , корни кратные то решение будет иметь вид: i II k = A 1 −δ + A 2 t −δ , (3.5) 3) если δ<ω 0 , корни комплексно-сопряжённые то решение будет иметь вид: i II k = A 1 −δ sin(ω I t ) + A 1 −δ cos(ω I ) (3.6) где: ω I = √ω 0 2 − δ 2 . (3.7) Или решение может быть представленным в другом виде: