Теория колебаний

JCj = X,X2 = X у ' iк 10 0 X г Рис.41 К(0)--«,о|<^^- (6-2) Устойчивость по Ляпунову легко проиллюстрировать на фазовой плоскости Нарисуем два квадрата со сторонами 2^ и 2 £ ' с центром в состоянии равновесия (Рис.41). Устойчивость по Ляпунову означает, что фазовая траектория, начавшаяся внутри малого квадрата, никогда не выйдет за пределы большого квадрата. Причем большой квадрат задается, а малый должен существовать. Физически устойчивость по Ляпунову означает, что система не обязательно достигает своего состояния равновесия, но и не уходит от него; она может совершать движение около своего состояния равновесия сколько угодно долго. Конкретным примером равновесия, устойчивого по Ляпунову, может служить особая точка типа центр (Рис.42). При заданном равно малой полуоси эллипса, большая полуось которого равна s . Очевидно, что при начальных условиях, расположенных внутри квадрата 2^. представляют эллипсы, которые находятся внутри квадрата 2s. В прикладных задачах чаш,е приходится исследовать асимптотическую, или, абсолютную устойчивость состояния равновесия. Состояние равновесия jc .Q . = 1,2,...,«, абсолютно устойчиво, если можно указать такое положительное число S>0, что при выполнении в начальный момент времени условия J У к 10 ( \ А к \ ) Л f X Рис.42 траектории 74