Теория колебаний

Глава VI. Устойчивость равновесия системы Важным этапом исследования колебательных систем является исследование устойчивости какого-либо состояния в системе: состояния устойчивости, стационарного колебания и т.п. сосредоточим свое внимание на исследовании устойчивости состояния равновесия, так как этот случай встречается в подавляющем большинстве практических задач. Какое состояние считать устойчивым? На основе опыта мы говорим, что система устойчива, если выведенная из какого-либо состояния она стремится вернуться в это состояние. Поэтому исследование устойчивости состояния эквивалентно решению вопроса реализуемости этого состояния. Если состояние устойчиво - оно реализуемо. Интуитивное определение устойчивости не может служить основой для строгого анализа устойчивости систем. Фундаментальные результаты по теории устойчивости были получены русским математиком A.M. Ляпуновым в конце прошлого века. Некоторые будут изложены ниже. Дадим математическую формулировку устойчивости состояния равновесия системы. Пусть система описывается координатами, меняюш,имися во времени x.{t)J = \2,..,n, и пусть jCjQ JC20,..^:.Q -состояние равновесия системы. (В состоянии dx равновесия все скорости равны нулю: —- = 0,/ = 1,2,..и, -движение отсутствует). dt 1.Состояние равновесия устойчиво по Ляпунову, если для любого положительного ^ > О можно указать такое положительное д > < s) , что в любой момент времени выполняется условие (6.1) если в начальный момент t = О выполняется условие 73