Теория колебаний

dy cOqX dx у (3.62) Особая точка будет: X Q = О, Уо = О (вертикальное положение равновесия). Интегрируя уравнение с помощью метода разделения переменных имеем; ydy - colxdx = О, 1 2 1 2 2 — У JC со. 2 2 ° С. (3.63) (3.64) где С - постоянная. Разделим оба уравнения на С У X 2С 2С/ 1. (3.65) Y • X Последнее уравнение есть ни что иное, как уравнение гиперболы в каноническом виде. Картина на фазовой плоскости будет иметь вид, приведенный в рис.28. Стрелки, указывающие направление движения изображающей точки, проставлены с учетом первого динамического уравнения (3.38). Рисунок 28 Семейство гипербол соответствует разным постоянным С. При С = О фазовые траектории - прямые у = ±щх. Эти прямые являются ассимтотами для гипербол. Обобщая полученные результаты, дадим определение особой точки типа седло, для общего случая. Особая точка типа седло - это точка, через которую проходят две интегральные кривые,, являющиеся асимптотами для кривых типа гипербол. Фазовый портрет системы с равновесием, соответствующим особой точке типа седло, показывает, что при любых начальных условиях и бесконечном времени наблюдения система уходит от состояния равновесия. Исключение составляют две фазовые траектории (асимптота «а» на рисунке). Если начальная системы соответствует положению изображающей точки на этих траекториях, то 53