Гидродинамика

Гл. I ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ 27 контур аЬса, и построим на ней два ряда линий, которые разделят контур на бесконечно малые части. Нетрудно ви­ деть, что циркуляция скорости по контуру аЬса может быть заменена суммой циркуляций по всем бесконечно малым кон­ турам, взятым в том же направлении, потому что при таком суммировании циркуляции по всем внутренним линиям сокра­ тятся. Так как циркуляция по всякому бесконечно малому замкнутому контуру равна удвоенному напряжению вихревой нити, построенной на этом контуре, то сумма всех таких циркуляций будет равна сумме удвоенных напряжений всех вихревых нитей, проходящих сквозь контур аЬса. Отсюда получается теорема Стокса Ч циркуляция скорости по вся­ кому замкнутому контуру, обращаемому в точку, равна удвоенной сумме напряжений всех вихревых нитей, прохо­ дящих через этот контор."Напряжение вихря надо считать положительным, если вращение частицы совершается в ту сторону, в которую берем циркуляцию, и отрицательным — в обратном случае. § 2. Прилагаем теорему Стокса к исследованию движения жидкой массы без вращения частиц жидкости. Если простран­ ство, занимаемое жидкой массой, односвязно, то все замкну­ тые контуры, проводимые внутри его, обращаемы в точку, и потому циркуляция скорости по всякому замкнутому контуру при отсутствии вращения частиц равна нулю. Для жидкой массы, занимающей многосвязное пространство, подобное заключение необходимо только для замкнутых контуров, обращаемых в точку, но в ней могут быть проводимы также и замкнутые контуры, в точку не обращаемые, для которых Циркуляция скорости не должна быть равна нулю. Докажем что для всяких двух таких контуров, которые могут быть посредством непрерывного изменения, не выходя из жидкой массы, преобразованы из одного в другой, циркуляции ско­ рости одинаковы. Пусть (фиг. 3) аЬса и defd будут два такие контура. Мы всегда можем провести между ними линию ad так, что контур abcadfeda будет обращаться в точку. Вслед- 1 S t o k e s , Cambridge University Calendar, 1854.