Теория автоматического управления

41 Теорема 5. Свертка оригиналов. Для оригиналов u{t) и w{t) сверткой яв- t t ляется интеграл y{t) = | u{T)w{t - т)с1т = |м(? - T)w{T)dT , изображение которого о о с учетом условия w(t -т) = О при t-r <0 имеет вид L{y{t)} = Y{p) = L ^u{T)w{t - T)dT >= I - о ^u{T)w{t - T)dT -P'dt I ju{T)w{t - T)dT e~P'dt = |м(г) di . 0 CO |м(г)е P^dr • |w( ?- r )e ^^d(t-T) |м(г)е P^dr . 0 CO ^w{t')e dt' = U{p)-W{p). Таким образом, для свертки справедливо изображение Y(p) = U(p)-W(p). Теорема 6. Начальное и конечное значение оригинала. По известному изо­ бражению и{р) требуется определить начальное w(+0) и конечное значение w(oo) оригинала u{t). Воспользуемся формулой изображения для дифференци­ рования оригинала, принимая в качестве начального условия г/(-0) = w(+0), т.е. значение функции u{t) при подходе справа к точке t = Q \ со I u(t)e~P'dt = pU(p)-u(+0), - о Отсюда следует, что при р ^ с о или Re/> = cr^oo,сг>0; Im/> = /?^oo спра­ ведливо выражение 00 00 lim f u(t)e~P^dt = j u(t) lime'^^dt = 0 =Km pU(p)-u(+0); p^'X >_Q _Q p^co p^co при p^O или Re/> = cr^O, cr>0; lmp = ^0 справедливо выражение