Теория автоматического управления

38 Теорема 1. Линейность преобразования Лапласа. Для любых оригиналов u^{t) и постоянных С- выполняется равенство: L = j P'dt j Ui{t)e P'dt = ^сД^{р) . -О г =1 г =1 -О ' =1 '•=1 Jmt Пример 1.5. Найдем изображение для функции е-' = cos cot + jsincot. Со­ гласно примеру 1.4 при а = jco получим L 1 P + JCO Р CD p-JCO р^+со^ р^+со^ р^+со^ с другой стороны с учетом теоремы линейности имеем = Х{со8Ш/'} + jL\sincDt^, и тем самым справедливы формулы L\cos(ot\= ^ —2 ' L\s\n(ot\= ^ —2 • р + со р + со Теорема 2. Дифференцирование оригинала. Изображение производной оригинала u{t), если оно существует, при предначальном значении w(-0) с учетом условия | u{t) \< и сг > с имеет вид: 00 00 = I м(?)е = I е P^duit) = u{t)e р\ u{t)e ^^dt = -о -о -о = ( - lim u(t)e-^''^'^A + pU(p) = V t^co t^-0 J = (O - m(-0)) + pU{p) = pU{p) - u{-0). Аналогично для второй производной оригинала u(t) при дополнительном начальном значении й(-0) с учетом предыдущей формулы получим L {м(0} = L " ( о | = pL{"(0} ~ й(-0) = pi^pU(р) - м(-0)) - м(-0) = = р^и{р) - ри{-0) - м(-0).